Contenus

• Valorisation du moment de première rencontre : cas de l'inégalité triangulaire en classe de cinquième
  Le moment de première rencontre d'une activité d'étude et de recherche est essentiel pour permettre aux élèves de se lancer dans une réelle recherche. Comment réfléchir sur une question problématique si on n'a pas compris la tâche clé de l'étude ? Ce document présente de quelle manière un moment de première rencontre peut être modifié pour favoriser la compréhension de la tâche coche du sujet. Il permet de réfléchir à l'importance de la forme de l'énoncé du sujet donné aux élèves : les mots, l'ordre des phrases, la question posée. Il faut pouvoir mettre en avant la tâche plutôt que d'autres informations qui parasiteraient le raisonnement. Également, la place de l'enseignant dans ce moment est importante. Il doit pouvoir être une aide, diriger les élèves par des questions simples, il doit être attentif à ne pas donner d'indications trop orientées. Il doit laisser l'élève s'engager dans l'AER en lui laissant l'espace nécessaire pour sa propre réflexion. Comprendre un énoncé fait partie des compétences qu'un élève doit acquérir. Enfin, la fin de séance présente un moment de travail de la technique pour être sûr que les élèves ont assimilé la tâche à accomplir et justifiant ce nouvel apprentissage.
• Amélioration de la réalisation du moment de première rencontre lors d’une AER. Cas de l’inégalité triangulaire en classe de cinquième.
  La séance observée a été réalisée en classe de cinquième et avait pour but l’émergence de la propriété de l’inégalité triangulaire. En utilisant les résultats de deux lancers de dés, les élèves devaient tenter de construire des triangles et observer une condition d’existence d’un triangle. L’évaluation de la séance a mis en évidence la difficile réalisation du moment de première rencontre avec le type de tâches enjeu de l’étude. En effet, ce moment a été long sans être riche et l’analyse a montré combien le support d’activité avait limité l’autonomie des élèves durant l’activité, entravant leur topos. On propose ici le développement d’un produit didactique pour remédier à ces insuffisances. On s’arrêtera principalement sur les modifications du support d’activité et sur la gestion des traces écrites pendant. Ceci conduit à proposer un nouveau scénario didactique, organisé autour du type de tâches enjeu de l’étude (construire un triangle de longueurs de côtés données) et non plus centré autour de l’élément technologique. Cela favoriserait l’identification par les élèves de l’inégalité triangulaire comme un outil à utiliser dans des problèmes de construction de triangles. L’ajout d’un moment de travail de la technique irait également dans ce sens et constituerait une raison d’être justifiant l’intérêt de l’étude de cette organisation mathématique.
• Introduction des inégalités triangulaires en classe de 5e : Une proposition d’AER
  Ce projet de recherche en enseignement des mathématiques propose une introduction aux inégalités triangulaires en classe de 5e sous la forme d’une activité d’étude et de recherche. A la suite de l’analyse d’une séance construite dans ce but et menée en classe, nous nous posons la question de la pertinence de l’activité traitée et essayons, en étudiant le même type de tâches que dans la première partie de proposer cette fois-ci une AER permettant l’émergence de l’organisation mathématique étudiée.
• Introduction de l’inégalité triangulaire au cycle 4
  La séance observée s’est déroulée en classe de cinquième. L’activité proposée aux élèves devait permettre d’introduire l’inégalité triangulaire comme un outil permettant de déterminer si un triangle est constructible ou non. L’analyse de la séance a permis de montrer que cette activité ne faisait en réalité pas émerger l’organisation mathématique souhaitée et que le scénario didactique n’était pas mené à bien de sorte à rendre l’élève acteur. Cela nous a conduits à tenter de répondre à la question : comment permettre une meilleure émergence de l’organisation mathématique visée ? Cette réflexion nous a menés à modifier cette activité afin de la transformer en activité d’étude et de recherche. L’introduction du terme « triangle magique », des tracés de triangles, de données numériques ainsi que du contexte de la situation du monde empêchant le tracé de figures amènent la réalisation effective du type de tâches visé.
• Introduction de l’inégalité triangulaire au cycle 4
  Après un essais d’AER non concluant et différentes observations menées dans une classe de cinquième autour de la construction de triangle et de l’inégalité triangulaire un nouveau projet est développé : ce projet propose une approche de l’inégalité triangulaire par le jeu et l’intuition pour que l’inégalité (algébrique) qui en découle soit étroitement liée à la géométrie plane et ainsi en facilité sa mémorisation ou donner les outils nécessaires pour la retrouver sans mal.
• Comment améliorer le topos de l’élève ? Cas de l'étude des propriétés reliant les droites parallèles et perpendiculaires en classe de 6ème.
  La séance observée s’est déroulée en classe de sixièmes. L’activité d’étude et de recherche a permis de faire émerger une propriété reliant les droites perpendiculaires et les droites parallèles. L’analyse de la séance a montré que l’activité était centrée sur la construction de droites perpendiculaires et l’émergence de la propriété s’est faite trop rapidement par le professeur. L’analyse nous a permis de modifier le scénario de la réalisation de l’activité devant des élèves afin de se concentrer beaucoup plus sur le raisonnement autour de cette propriété et notamment par l’émergence de la propriété faite par les élèves. Ce nouveau scénario permet à l’élève d’être acteur dans la découverte et la rédaction de la propriété.
• L'addition de fractions de dénominateurs différents en classe de 4ème
  La séance travaillée porte sur l'addition de fractions de dénominateurs différents, et s'adresse aux classes de 4ème. L'analyse d'une activité d'étude et de recherche (AER) consacrée à cette thématique et mise en œuvre en classe a fait l'objet d'un premier mémoire. L'analyse de cette séance a permis de dégager des axes intéressants à développer. En particulier, il aurait été pertinent de travailler la mise en œuvre de l'AER en accentuant la place de l'élève. Ainsi un développement est proposé dans ce document, remisant le support de l'AER et son déroulé. Cette remédiation vise à (i) accentuer la part de l'élève et (ii) faire émerger la technique d'addition de fractions de dénominateurs différents. Pour cela, l'AER proposée engage les élèves à la manipulation des fractions, sous forme d'objets bandes-fractions.
• Comment faire émerger les coordonnées de la somme de 2 vecteurs
  Le projet de recherche sur l’enseignement des mathématiques proposé, traite de «la somme de deux vecteurs» en classe de seconde. Lors de l’analyse de la séance observée au semestre 9 , nous avons constaté que les élèves ne s’investissaient que partiellement dans l’activité d’étude et de recherche (AER) proposée. De plus la technique et la technologie enjeu de l’étude n’émergeaient pas de façon évidente. L’organisation mathématique ayant été bien ciblée, l’analyse de la séance nous a permis de trouver les moyens d’en améliorer sa réalisation. En transformant la situation du monde mathématique de l’AER en situation du monde extra-mathématique mon objectif est de capter l’attention et l’intérêt de tous les élèves. La modélisation grâce au logiciel dynamique Géogebra oblige chaque élève a s’investir, s’impliquer dans l’activité. Ils visualisent une trajectoire, un déplacement, une translation. Ils travaillent et manipulent le vecteur . Le logiciel Geogebra donne avec fiabilité les coordonnées des vecteurs . Il est donc plus facile de faire émerger la formule des coordonnées de la somme de deux vecteurs , objectif de la séance. De plus chaque élève avec des valeurs de coordonnées différentes arrive à la même conclusion, ce qui permet de synthétiser la technique et la technologie avant d’en faire la démonstration en cours.
• Comment faire émerger une définition à partir d'une technique de construction? Cas de la symétrie centrale en classe de cinquième.
  La séance observée s'est déroulée en classe de cinquième. L'activité proposée devait permettre de faire émerger avec les élèves la définition de la symétrie centrale en l'associant à l'image mentale d'un demi-tour autour d'un point. L'analyse de la séance a cependant montré que nous étions passé à côté du type de tâche enjeu de l'étude de la séquence sur la symétrie centrale : la construction de l'image d'un point par une symétrie centrale. Cela nous a conduit à nous poser la question suivante : Comment faire émerger une définition à partir d'une technique de construction ? Cette réflexion nous a amené à concevoir un nouveau support d'activité. Dans cette activité la technique de construction de l'image d'un point par une symétrie centrale est le cœur de la recherche des élèves. La définition de la symétrie centrale n'arrive quant à elle qu'en fin d'activité afin de vérifier que la construction a été effectuée correctement.
• Revalorisation du Moment exploratoire d’une AER sur la Modélisation d’une Situation du monde par un Système d’équations en Classe de seconde
  Dans ce mémoire, il est question d’une proposition d’AER en classe de seconde, portant sur la modélisation d’une situation du monde par un système d’équations du premier degré à deux inconnues. L’évaluation de la réalisation de celle-ci a révélé qu’une place peu importante était donnée aux élèves, et à leurs recherches directement en lien avec l’enjeu de l’AER. Une remédiation à l’énoncé de celle-ci est alors proposée.
• Comment motiver l'introduction de la notion de suite en première STMG?
  Cette présentation du projet de recherche d'enseignement des mathématiques est le fruit d'un travail collectif, structuré autour d'une séance proposée en classe de première STMG d'un lycée Toulousain. Il s'agissait pour nous de construire une séance d'une heure ayant pour objectif d'introduire la notion de suites numériques. Au cours de cette présentation, nous avons tenu à exposer le travail de préparation de la séance, le compte-rendu complet, le scénario didactique relevé et l'analyse des organisations mathématiques de cette séance. La notion de suites numériques est une partie importante du programme de première STMG en relation directe avec les attendus professionnels relatifs aux candidats suivant cette filière (gestion d'entreprise, comptabilité, etc.) Il nous a donc paru primordial d'aborder toutes les représentations de la suite, ses différentes formes et les outils nécessaires à leur étude dès cette séance. L'activité que nous avons choisie de proposer permet de répondre à ces dernières attentes. Comme il s'agit d'étudier une suite arithmétique, les formes explicite et par récurrence sont à la portée des élèves. Le problème se présentant sous la forme d'une construction à poursuivre, la représentation géométrique d'une suite est permise. Nous avons également veillé à traiter une suite simple, en faisant intervenir des nombres entiers. On limiterait ainsi les problèmes calculatoires pour se concentrer sur les nouvelles notions. Enfin, il nous a paru important de relier dans un premier temps les suites à la notion de fonction, en écrivant les termes sous la forme u(n), puis d'employer une écriture plus conventionnelle sous la forme u indice n.
• Valorisation de la modélisation d’un problème : étude d’une activité d’introduction des suites en classe de première ES
  La séance analysée a été réalisée en classe de première ES et avait pour objectif l’introduction de la notion de suites numériques. Le support d’activité qui a été proposé se plaçait dans le cadre du dénombrement de triangles sur une figure construite par itération et faisait intervenir une suite définie par récurrence. L’analyse de cette séance et de son support d’activité a révélé que le type de tâches principal, concernant le calcul d’un terme de rang donné d’une suite, avait nécessairement besoin d’un second type de tâche, centré sur la modélisation même du problème. L’analyse de l’organisation didactique a mis aussi en évidence le fait que les moments exploratoire et technologico-théorique se sont confondus, mettant à mal le déroulé de séance prévu. Une proposition de nouveau support d’activité est faite ici, visant les points généraux à améliorer dans la séance analysée. Une nouvelle analyse a priori est faite, tant du point de vue des organisations mathématiques et didactiques nouvellement relevées, que du scénario didactique qui est prévu. Un tel scénario clé en main est proposé en fin de ce mémoire.
• L’addition de fractions de dénominateurs différents
  Proposition d'une activité d'étude et de recherche en classe de 4° ayant pour objectif de découvrir la technique permettant d'additionner 2 fractions ayant des dénominateurs différents.
• Comment faire émerger le besoin d’une nouvelle technique. Cas du calcul des coordonnées de la somme de deux vecteurs en classe de seconde.
  Ce présent mémoire retrace le travail réalisé dans le cadre d’un Projet de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques (PREM) au cours du Master 2 Métiers de l’Éducation, de l’Enseignement et de la Formation (MEEF) à l’Université Toulouse Jean Jaures. Suite à une activité d’étude et de recherche (AER) réalisée en classe de seconde sur le thème des vecteurs, une problématique est survenue. En effet, L’analyse de la séance observée a mis en évidence que les élèves n’ont pas eu besoin d’utiliser la technique enjeu de l’étude pour déterminer les coordonnées de la somme de deux vecteurs. Ils ont utilisé une technique de résolution graphique déjà maitrisée. Le but de l’activité était pourtant de calculer les coordonnées du vecteur somme en faisant la somme des coordonnées de deux vecteurs. La problématique développée dans ce mémoire est donc la suivante : Comment faire émerger le besoin d’une nouvelle technique auprès des élèves ? Une nouvelle AER a donc été proposée afin de permettre aux élèves de mobiliser une nouvelle technologie qui est la propriété des coordonnées de la somme de deux vecteurs. Pour ce faire, l’AER met en avant, au de travers de 3 questions, les limites de l’utilisation de la technique de résolution graphique pour répondre à la question finale du problème. Cela permet aux élèves de se créer la nécessité d’utiliser une nouvelle technique qui émergera de leurs travaux d’étude et de recherche. Un scénario didactique est décrit pour permettre aux élèves de répondre aux questions posées et à l’enseignant de faire vivre l’étude dans le respect de l’organisation mathématique ciblée.
• L’addition de fractions de dénominateurs différents : une proposition d’AER.
  Ce mémoire présente une proposition d’activité de d’étude et de recherche modifiant une activité déjà réalisé dans une classe de quatrième. D’abord, une analyse de la séance observée et ensuite son évaluation objective permet de dégager les points forts et les points à améliorer. Le sujet de développement propose une modification de cette activité afin de corriger ces points mentionnés et rendre l’activité plus intéressante et en adéquation aux objectifs visés.
• Comment motiver l'introduction de la notion de suite en classe de 1re STMG ?
  Travail sur une activité d'étude de recherche afin d'introduire la notion de suite en classe de 1re STMG
• Notion d’évolutions : comment améliorer la modélisation d’une situation par une suite géométrique en classe de 1re STMG ?
  Lors du premier semestre, nous avons, collectivement, préparé une Activité d’Étude et de Recherche sur les suites arithmétiques et géométriques en classe de 1re STMG. Nous avons étudié, a priori, l’organisation mathématique qui allait émerger lors de cette activité. Grâce à la vidéo, nous avons pu établir également l’organisation didactique à travers les différents moments de l’étude. Au second semestre, nous avons évalué le travail fait lors du premier semestre. Nous avons retravaillé sur l’organisation mathématique en notant une différence de technique. Celle utilisée par les élèves n’étant pas au programme, nous ne l’avions pas mentionnée dans l’organisation mathématique de notre analyse a priori. Nous avons également approfondi le travail sur notre organisation didactique afin de dégager un moment très important que nous avions passé quelque peu sous silence : le travail du modèle. En effet, dans l’énoncé, il est question d’une certaine somme d’argent et de deux placements possibles. Les élèves doivent donc passer de cette situation du monde dont la tâche coche correspond à : « quel est le meilleur placement ? » à la tâche problématique qui est : « comparer deux évolutions différentes d’une même somme ». Il y a donc eu un travail important du modèle à faire. Afin d’améliorer la séance, nous avons évoqué plusieurs points sur lesquels nous pourrions agir au préalable. Le plus important m’a semblé être le travail sur les évolutions. En effet les élèves n’arrivaient pas à déterminer comment passer d’une certaine quantité à un certain taux de cette quantité. Nous pourrions remédier à cela en l’ayant vu en question flash, par exemple, en début d’heure lors d’une des séances précédentes. C’est donc cet axe que j’ai choisi de développer.
• Clarifier la tâche élève : cas de la construction d’une droite parallèle passant par un point donné en classe de sixième
  La conception d’une séance d’introduction sur le thème « Perpendiculaires et parallèles » s’inscrit dans le thème de la géométrie plane. L’objectif d’une telle séance vise à rendre possible la construction d’une droite parallèle à une autre passant par un point. Pour y parvenir, l’élaboration d’une activité est réalisée : celle-ci correspond à une situation du monde mathématique dans laquelle le professeur induit une difficulté, une contrainte grâce au matériel autorisé. Il restreint ce dernier à une règle non graduée et une équerre de petite taille. L’élève devra alors prendre en considération ces limites pour les repousser en allant chercher au-delà de ce qu’il connaît. Le moment d’exploration de la technique prend une place importante et doit s’appuyer sur une justification théorique : dans ce cas-là, une justification expérimentale sera menée à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. La séance présentée vient remédier à l’insuffisance d’une autre préparation préalablement réalisée. Ce travail a été analysé puis soumis à une évaluation. Cela avait pour objectif de cerner l’ensemble de la préparation, de mettre en avant les points forts et les points à améliorer qui y étaient associés. La séance alternative, présentée dans ce dossier, est donc le produit didactique issu d’une réflexion basée sur ces points identifiés.
• Comment enseigner les systèmes d'équations en classe de seconde ?
  Il s'agit d'un projet portant sur le thème des systèmes d'équations en classe de Seconde. Il a été travaillé autour d'une séance présenté par un des membres du groupe.
• Comment améliorer le topos de l’élève : le cas de la construction d’un triangle connaissant les longueurs des trois côtés en classe de cinquième.
  Avec une classe de cinquièmes, une séance s’inscrivant dans la séquence « Triangles et côtés » a été observée afin d’être analysée et évaluée. La séance débute par un moment didactique de travail portant sur organisation mathématique sur la séquence précédente, mais elle est principalement dédiée à l’étude de la construction de triangles. En effet, elle comprend comme enjeu de l’étude l’organisation mathématique portant sur la construction d’un triangle en vérifiant que ses côtés respectent l’inégalité triangulaire et on assiste aux différents moments didactiques : première rencontre, exploration et technologico-théorique. L’analyse et l’évaluation de la séance à travers celles des organisations mathématique et didactique, ont permis de montrer que la tâche problématique amenée par la situation du monde proposé, n’aboutissait pas à l’étude l’organisation mathématique enjeu de l’étude. De plus, cette dernière était incomplète et l’organisation didactique présentait des faiblesses au niveau de la topogenèse, mais également du prolongement d’activité n’étant pas adapté. Le développement cherche à accroître l’initiative des élèves, en posant un problème associé à la situation du monde permettant un moment de première rencontre rapide et individuelle. Il vise à ce que l’idée de tenter de construire des triangles avec chacun un côté en commun et les autres de différentes longueurs viennent des élèves. Il a pour but qu’ils produisent une formulation approximative de l’élément technologique dominant (Inégalité triangulaire). Pour finir, l’objectif est aussi de développer le topos de l’élève en insérant un moment de travail sur la même organisation mathématique, permettant aux élèves de s’interroger, mais aussi confirmer leurs idées sur ce qu’ils ont déduit dans l’activité.